wszyscy myślą, że to dno. ale na dnie tak nie wieje...

Zatem, jeż eli atom wodoru potraktujemy jako elektron
poruszający się w polu potencjału kulombowskiego, mówiąc o degeneracji poziomów
musimy pamię tać o spinie elektronu. Elektron posiada spin
s = 1 ,
2

66
może wię c znajdować się w dwóch stanach różnią cych się wartoś cią rzutu spinu:
s = ± 1 .
z
2
Daje to dwie możliwoś ci, czę sto okreś lamy je jako “spin do góry” i “spin w dół”.
Uwzglę dnienie spinu elektronu powoduje dwukrotne zwię kszenie krotnoś ci degeneracji
poziomów energetycznych atomu wodoru.

X. Rachunki przybliżone
Tylko w bardzo niewielu problemach mechaniki kwantowej udaje się znaleź ć dokładne
analityczne rozwią zanie. W pozostałych przypadkach skazani jesteś my na rachunki
przybliżone. Dlatego konieczne jest poznanie podstawowych metod tego typu. W podanych
przykładach skoncentruję się na poszukiwaniu przybliżonych rozwią zań równania własnego
operatora Hamiltona. Mogą one być użyte również przy poszukiwaniu innych wielkoś ci
fizycznych.

Niezależny od czasu rachunek zaburzeń dla widma niezdegenerowanego.

Jeżeli operator H, którego problem własny usiłujemy rozwią zać można przedstawić w postaci
sumy operatora H0 o znanych wektorach i wartoś ciach własnych oraz operatora H′ ,
zmieniają cego tylko w niewielkim stopniu widmo operatora H0 , możemy posłużyć się tzw.
rachunkiem zaburzeń .
H = H 0 + H′
Operator H0 nazywamy operatorem niezaburzonym, a operator H′ zaburzeniem.
Załóżmy, że operator H0 posiada dyskretne widmo niezdegenerowanych wartoś ci własnych:
H0
0 = E0 0
ψ
ψ .
n
n
n
Dla podkreś lenia małego wpływu operatora H′ zapiszmy go jako iloczyn pewnej liczby λ
(zakładamy, że λ << 1) oraz operatora W. Przy tym założeniu równanie własne pełnego
hamiltonianu przyjmuje postać .
(H0 + λW)ψ = E ψ
n
n
n
Odpowiednie wartoś ci własne i wektory własne powinny być niewiele różne od wartoś ci i
wektorów własnych operatora niezaburzonego:
E ≈ E 0
≈ 0
, ψ
ψ
n
n
n
n
Poszukajmy ich zatem w postaci szeregu potę gowego stałej λ .
E = E 0 + E1 + 2 E 2
λ
λ
+..........
n
n
n
n
ψ = 0 +
1 + 2 2 +..........
n
ψ n λψn λ ψn
Wstawmy te rozwinię cia do równania własnego. Otrzymujemy:
(H0 λW)( 0
1
2
2
ψ
λψ
λ ψ .. ). (E0 λE1
2
λ E2
0
1
2
2
+
+
+
+
=
+
+
+... ψ + λψ + λ ψ +...
n
n
n
n
n
n
)( n
n
n
)
Przyrównujemy do siebie wyrazy o jednakowych potę gach parametru λ , uzyskujemy:
H0
0 = E0 0
ψ
ψ
n
n
n
H0 1 + W 0 = E 0 1 + E1
0
ψ
ψ
ψ
ψ
n
n
n
n
n
n
H0
2 + W 1 = E0 2 + E1 1 + E2 0
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
n
n
n
n
n
n
n
n
H0 3 + W 2 = E 0 3 + E1
2 + E2 1 + E3 0
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
................................................................
Z równań tych wyliczamy wyrażenia na poprawki kolejnego rzę du (odpowiadają ce kolejnym
potę gom λ ) na energie i funkcje falowe.

67
Pierwsze równanie pokrywa się z równaniem własnym operatora niezaburzonego. Jego
rozwią zania nazywamy rozwią zaniami zerowego rzędu.
Poprawkę pierwszego rzędu dla energii otrzymujemy mnoż ą c drugie równanie lewostronnie
przez ψ 0∗ i wykonują c całkowanie. Otrzymujemy:
n
ψ0 H0 1
0 W
0
E 0
0
1
E1
0
0
+
=
+

n
ψ n
ψ n
ψ n
n
ψ n ψn
n
ψ n ψn
Korzystają c z równania własnego H0 oraz z zakładają c unormowanie jego funkcji własnych
otrzymujemy:
E1
0 W
0
= ψ
ψ
n
n
n
W celu znalezienia poprawki pierwszego rz
1
ędu rachunku zaburzeń do funkcji falowej ψ
n
rozwijamy ją w szereg niezaburzonych funkcji własnych:
ψ1
∑ c1
0
=
.
n
ni ψ i
i
Rozwinięcie wstawiamy do równania drugiego. Otrzymujemy:
(H0 E0)∑c1 0ψ (E1 W 0
−
=
−
ψ
n
ni
i
n
) n
i
ską d
∑ c1 (E0
E 0 ) 0
ψ
(E1 W 0
−
=
−
ψ
ni
i
n
i
n
) n
i
Mno
0 ∗
ż ymy to równanie lewostronnie przez ψ
i wykonujemy całkowanie:
m
∑ c1 (E0
E 0 ) 0
0
ψ ψ
E1
0
0
0
ψ ψ
ψ W 0
−
=
−
ψ
ni
i
n
m
i
n
m
n
m
n
i
Korzystamy z ortogonalnoś ci i unormowania:
c1 (E0
E 0 )
0
W
0
−
= − ψ
ψ
nm
m
n
m
n
sk
1
ą d moż emy wyliczyć c
dla m ≠ n .

v